Разложение в ряд фурье для чайников. Разложение функции в ряд фурье. Многие функции не являются ни четными, ни нечетными

Вопрос 1

Тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), имеющей период T = 2l , называется ряд вида

При этом говорят, что ряд (53) порождён функцией f(x), а коэффициенты a o , a n , b n называются коэффициентами Фурье. В случае, когда функция f(x) имеет период Т = 2π, её ряд Фурье имеет вид

и коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Для четных функций ряд Фурье (53) содержит только члены

для нечетных функции - только члены В этих случаях коэффициенты Фурье удобнее вычислять по формулам

Важное значение имеют вопросы о том, при каких х ряд Фурье сходится и в каком случае сумма ряда в точке х равна значению функции f(x), порождающей этот ряд. Ответ на эти вопросы дает теорема Дирихле.

Функция f(x) на отрезке [а, b ] удовлетворяет условиям Дирихле , если
a) f(x) на отрезке [а, b ] непрерывна или имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва I рода;
b) в каждом интервале непрерывности f(x) монотонна, либо имеет на этом интервале конечное число точек экстремума.

Например, функция, изображенная на рис. 22, удовлетворяет условиям Дирихле.

Рис.22

Теорема Дирихле . Функция f(x), периодическая с периодом Т = 2l , удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [-l,l ], разлагается в тригонометрический ряд Фурье (53), причем:
a) в каждой точке непрерывности х функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению f(x);
b) в каждой точке разрыва х i , функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению

Тригонометрический ряд Фурье является частным случаем рядов, которые получаются для произвольных систем функций, ортогональных на отрезке [а, b]. Причем сами функции не обязаны быть периодическими.

Рассмотрим систему функций {φ n (x), n = 0, 1,2,...}, ортогональную на отрезке [а, b ].Рядом Фурье функции f(x)

Разложение периодической функции в ряд Фурье

Согласно гипотезе Фурье не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Рассмотрим, каким образом можно провести данное разложение. Следующую систему ортонормированных функций на отрезка [–π, π] можно представить:

{1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t), cos(3t), sin(3t), …, cos(nt), sin(nt),… }

Руководствуясь тем, что данная система функций является ортонормированной, произвольную функцию f(t) на отрезке [π, –π] можно представить следующим образом:

f(t) = α0 + α1·cos(t) + α2·cos(2t) + α3·cos(3t) + …+ β1·sin(t) +...

... + β2·sin(2t) + β3·sin(3t)+… (1)

Коэффициенты αn, βn вычисляются через скалярное произведение функции и базисной функции по формулам, рассмотренным ранее, и выражаются следующим образом:

α0 = , 1> =

αn = , cos(nt) > =

βn = , sin(nt) > =

Выражение (1) можно записать в сжатом виде следующим образом:

f(t) = a0/2 + a1·cos(t) + a2·cos(2t) + a3·cos(3t) + … + b1·sin(t) + b2·sin(2t) + b3·sin(3t)+… (2)

где

an = αn =

bn = βn =

Так как при n = 0 cos(0) = 1, константа a0/2 выражает общий вид коэффициента an при n = 0.

an =

bn = (3)

Тригонометрическим рядом Фурье называется ряд вида

a 0 /2 + a 1 cosx + b 1 sinx + a 2 cos2x + b 2 sin2x + ... + a n cosnx + b n sinnx + ...

где числа a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a n , b n , ... - коэффициенты Фурье.

Более сжатая запись ряда Фурье с символом "сигма":

Как мы только что установили, в отличие от степенного ряда , в ряде Фурье вместо простейших функций взяты тригонометрические функции

1/2, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ..., cosnx , sinnx , ... .

Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:

Все вышеперечисленные функции в ряде Фурье являются периодическими функциями с периодом 2π . Каждый член тригонометрического ряда Фурье является периодической функцией с периодом 2π .

Поэтому и любая частичная сумма ряда Фурье имеет период 2π . Отсюда следует, что если ряд Фурье сходится на отрезке [-π , π ] , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π .

Сходимость ряда Фурье и сумма ряда

Пусть функция F (x ) , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2π , является периодическим продолжением функции f (x ) , если на отрезке [-π , π ] имеет место F (x ) = f (x )

Если на отрезке [-π , π ] ряд Фурье сходится к функции f (x ) , то он сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях ряд Фурье функции f (x ) сходится к этой функции, даёт следующая теорема.

Теорема. Пусть функция f (x ) и её производная f " (x ) - непрерывные на отрезке [-π , π ] или же имеют на нём конечное число точек разрыва 1-го рода. Тогда ряд Фурье функции f (x ) сходится на всей числовой прямой, причём в каждой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , в которой f (x ) непрерывна, сумма ряда равна f (x ) , а в каждой точке x 0 разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева:

где и .

На концах отрезка [-π , π ] сумма ряда равна среднему арифметическому значений функции в крайней левой и крайней правой точках периода разложения:

В любой точке x , принадлежащей отрезку [-π , π ] , сумма ряда Фурье равна F (x ) , если x - точка непрерывности F (x ) , и равна среднему арифметическому пределов F (x ) слева и справа:

если x - точка разрыва F (x ) , где F (x ) - периодическое продолжение f (x ) .

Пример 1. Периодическая функция f (x ) с периодом 2π определена следующим образом:

Проще эта функция записывается как f (x ) = |x | . Разложить функцию в ряд Фурье, определить сходимость ряда и сумму ряда.

Решение. Определим коэффициенты Фурье этой функции:

Теперь у нас есть всё, чтобы получить ряд Фурье данной функции:

Этот ряд сходится во всех точках, и его сумма равна данной функции.

Решить задачу на ряды Фурье самостоятельно, а затем посмотреть решение

Ряды Фурье для чётных и нечётных функций

Пусть функция f (x ) определена на отрезке [-π , π ] и является чётной, т. е. f (- x ) = f (x ) . Тогда её коэффициенты b n равны нулю. А для коэффициентов a n верны следующие формулы:

Пусть теперь функция f (x ) , определённая на отрезке [-π , π ] , нечётная, т.е. f (x ) = - f (- x ) . Тогда коэффициенты Фурье a n равны нулю, а коэффициенты b n определяется формулой

Как видно из формул, выведенных выше, если функция f (x ) чётная, то ряд Фурье содержит только косинусы, а если нечётная, то только синусы .

Пример 3.

Решение. Это нечётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённый интеграл :

Это равенство справедливо для любого . В точках сумма ряда Фурье по приведённой во втором параграфе теореме не совпадает со значениями функции , а равна . Вне отрезка сумма ряда является периодическим продолжением функции , её график приводился выше в качестве иллюстрации суммы ряда.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Это чётная функция, поэтому её коэффициенты Фурье , а чтобы найти , нужно вычислить определённые интегралы :

Получаем ряд Фурье данной функции:

Это равенство справедливо для любого , так как в точках сумма ряда Фурье в данном случае совпадает со значениями функции , поскольку .

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Функция f(x), определенная на отрезке \-1, где I > 0, называется четной, если График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция f(x), определенная на отрезке J), где I > 0, называется нечетной, если График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Пример. а) Функция является четной на отрезке |-jt, jt), так как для всех х е б) Функция является нечетной, так как Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем в) Функция f(x)=x2-x, где не принадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как Пусть функция f(x), удовлетворяющая условиям теоремы 1, является четной на отрезке х|. Тогда для всех т.е. /(ж) cos nx является четной функцией, a f(x)sinnx - нечетной. Поэтому коэффициенты Фурье четной функции /(ж) будут равны Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид 00 Если f(x) - нечетная функция на отрезке [-тг, ir|, то произведение f(x)cosnx будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin пх - четной функцией. Поэтому будем иметь Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид Пример 1. Разложить в ряд Фурье на отрезке -х ^ х ^ п функцию 4 Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид Находим коэффициенты Фурье. Имеем Применяя дважды интегрирование по частям, получим, что Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так: или, в развернутом виде, Это равенство справедливо для любого х € , так как в точках х = ±ir сумма ряда совпадает со значениями функции f(x) = х2, поскольку Графики функции f(x) = х и суммы полученного ряда даны на рис. Замечание. Этот ряд Фурье позволяет найти сумму одного из сходящихся числовых рядов, а именно, при х = 0 получаем, что Пример 2. Разложить в ряд Фурье на интервале функцию /(х) = х. Функция /(х) удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно ее можно разложить в ряд Фурье, который в силу нечетности этой функции будет иметь вид Интегрируя по частям, находим коэффициенты Фурье Следовательно, ряд Фурье данной функции имеет вид Это равенство имеет место для всех х В точках х - ±тг сумма ряда Фурье не совпадает со значениями функции /(х) = х, так как она равна Вне отрезка [-*, я-] сумма ряда является периодическим продолжением функции /(х) = х; ее график изображен на рис. 6. § 6. Разложение функции, заданной на отрезке, в ряд по синусам или по косинусам Пусть ограниченная кусочно-монотонная функция / задана на отрезке . Значения этой функции на отрезке 0| можно доопределить различным образом. Например, можно определить функцию / на отрезке тс] так, чтобы /. В этом случае говорят, что) «продолжена на отрезок 0] четным образом»; ее ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию /(ж) определить на отрезке [-л-, тс] так, чтобы /(, то получится нечетная функция, и тогда говорят, что / «продолжена на отрезок [-*, 0] нечетным образом»; в этом случае се ряд Фурье будет содержать только синусы. Итак, каждую ограниченную кусочно-монотонную функцию /(ж), определенную на отрезке , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам. Пример 1. Функцию разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам. М Данная функция при ее четном и нечетном продолжениях в отрезок |-х,0) будет ограниченной и кусочно-монотонной. а) Продолжим /(z) в отрезок 0) а) Продолжим j\x) в отрезок (-тг,0| четным образом (рис. 7), тогда ее ряд Фурье i будет иметь вид П=1 где коэффициенты Фурье равны соответственно для Следовательно, б) Продолжим /(z) в отрезок [-x,0] нечетным образом (рис. 8). Тогда ее ряд Фурье §7. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Пусть функция fix) является периодической с периодом 21,1 ^ 0. Для разложения ее в ряд Фурье на отрезке где I > 0, сделаем замену переменной, положив х = jt. Тогда функция F(t) = / ^tj будет периодической функцией аргумента t с периодом и ее можно разложить на отрезке в ряд Фурье Возвращаясь к переменной ж, т. е. положив, получим Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом 2тг, остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 21. В частности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 21, заданную на отрезке [-/,/] формулой (рис.9). Так как данная функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид Подставляя в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, получим Отметим одно важное свойство периодических функций. Теорема 5. Если функция имеет период Т и интегрируема, то для любого числа а выполняется равенство m. е. интеграл no отрезку, длина которого равна периоду Т, имеет одно и то же значение независимо от положения этого отрезка на числовой оси. В самом деле, Делаем замену переменной во втором интеграле, полагая. Это дает и следовательно, Геометрически это свойство означает, что в случае площади заштрихованных на рис. 10 областей равны между собой. В частности, для функции f(x) с периодом получим при Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем Пример 2. Функция x является периодической с периодом В силу нечетности данной функции без вычисления интегралов можно утверждать, что при любом Доказанное свойство, в частности, показывает, что коэффициенты Фурье периодической функции f(x) с периодом 21 можно вычислять по формулам где а - произвольное действительное число (отметим, что функции cos - и sin имеют период 2/). Пример 3. Разложить в ряд Фурье заданную на интервале функцию с периодом 2х (рис. 11). 4 Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах найдем, что для Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так: В точке х = jt (точка разрыва первого рода) имеем §8. Комплексная запись ряда Фурье В этом параграфе используются некоторые элементы комплексного анализа (см. главу XXX, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго обоснованы). Пусть функция f(x) удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда на отрезке ж] ее можно представить рядом вида Используя формулы Эйлера Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos пх и sin пху будем иметь Введем следующие обозначения Тогда ряд (2) примет вид Таким образом, ряд Фурье (1) представлен в комплексной форме (3). Найдем выражения коэффициентов через интегралы. Имеем Аналогично находим Окончательно формулы для с„, с_п и со можно записать так: . . Коэффициенты с„ называются комплексными коэффициентами Фурье функции Для периодической функции с периодом) комплексная форма ряда Фурье примет вид где коэффициенты Сп вычисляются по формулам Сходимость рядов (3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися для данного значения ж, если существуют пределы Пример. Разложить в комплексный ряд Фурье функцию периода Данная функция удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть Найдем комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем для нечетных для четных n, или,короче. Подставляя значения), окончательно получим Заметим, что этот ряд можно записать и так: Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций 9.1. Ортогональные системы функций Обозначим через множество всех (действительных) функций, определенных и интегрируемых на отрезке [а, 6] с квадратом, т. е. таких, для которых существует интеграл В частности, все функции f(x), непрерывные на отрезке [а, 6], принадлежат 6], и значения их интегралов Лебега совпадают со значениями интегралов Римана. Определение. Система функций, где, называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если Условие (1) предполагает, в частности, что ни одна из функций не равна тождественно нулю. Интеграл понимается в смысле Лебега. и назовем величину нормой функции Если в ортогональной системе для всякого п имеем, то система функций называется ортонормированной. Если система {у>„(ж)} ортогональна, то система Пример 1. Тригонометрическая система ортогональна на отрезке. Система функций является ортонормированной системой функций на, Пример 2. Косинус-система и синус-система ортонормирована. Введем обозначение являются ортогональными на отрезке (0, f|, но не ортонормированными (при I Ф- 2). так как их нормы COS Пример 3. Многочлены, определяемые равенством, называются многочленами (полиномами) Лежандра. При п = 0 имеем Можно доказать, что функции образуют ортонормированную систему функций на отрезке. Покажем, например, ортогональность полиномов Лежандра. Пусть т > п. В этом случае, интегрируя п раз по частям, находим поскольку для функции t/m = (z2 - I)m все производные до порядка m - I включительно обращаются в нуль на концах отрезка [-1,1). Определение. Система функций {pn(x)} называется ортогональной на интервале (а, Ь) свесом р(х), если: 1) для всех п = 1,2,... существуют интегралы Здесь предполагается, что весовая функция р(х) определена и положительна всюду на интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где р(х) может обращаться в нуль. Выполнив дифференцирование в формуле (3), находим. Можно показать, что многочлены Чебышева-Эрмита ортогональны на интервале Пример 4. Система функций Бесселя {jL(pix)^ ортогональна на интервале нули функции Бесселя Пример 5. Рассмотрим многочлены Чебышева-Эрмита, которые могут быть определены при помощи равенства. Ряд Фурье по ортогональной системе Пусть ортогональная система функций в интервале (a, 6) и пусть ряд (cj = const) сходится на этом интервале к функции f(x): Умножая обе части последнего равенства на - фиксировано) и интегрируя по ж от а до 6, в силу ортогональности системы получим, что Эта операция имеет, вообще говоря, чисто формальный характер. Тем не менее, в некоторых случаях, например, когда ряд (4) сходится равномерно, все функции непрерывны и интервал (a, 6) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас важна именно формальная трактовка. Итак, пусть задана функция. Образуем числа с* по формуле (5) и напишем Ряд, стоящий в правой части, называется рядом Фурье функции f(x) относительно системы {^п(я)}- Числа Сп называются коэффициентами Фурье функции f(x) по этой системе. Знак ~ в формуле (6) означает лишь, что числа Сп связаны с функцией /(ж) формулой (5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более сходится к функции f(x)). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства этого ряда? В каком смысле он «представляет» функцию f(x)? 9.3. Сходимость в среднем Определение. Последовательность, сходится к элементу ] в среднем, если норма в пространстве Теорема 6. Если последовательность } сходится равномерно, то она сходится и в среднем. М Пусть последовательность {)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции /(х). Это означает, что для всякого при всех достаточно больших п имеем Следовательно, откуда вытекает наше утверждение. Обратное утверждение неверно: последовательность {} может сходиться в среднем к /(х), но не быть равномерно сходящейся. Пример. Рассмотрим последовательность пх Легко видеть, что Но эта сходимость не равномерна: существует е, например, такое, что сколь бы большим ни было л, на отрезке , Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций разложение функции заданной на отрезке в ряд по синусам или по косинусам Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Комплексная запись ряда Фурье Ряды Фурье по общим ортогональным системам функций Ряд Фурье по ортогональной системе Минимальное свойство коэффициентов Фурье Неравенство Бесселя Равенство Парсеваля Замкнутые системы Полнота и замкнутость систем и пусть Обозначим через с* коэффициенты Фурье функции /(х) по ортонормированной системе ь Рассмотрим линейную комбинацию где n ^ 1 - фиксированное целое число, и найдем значения постоянных, при которых интеграл принимает минимальное значение. Запишем его подробнее Интефируя почленно, в силу ортонормированности системы получим Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят, а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при ак = ск Интеграл называют средним квадратичным приближением функции /(х) линейной комбинацией Тп(х). Таким образом, среднее квадратичное приближение функции/\ принимает минимальное значение, когда. когда Тп(х) есть 71-я частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по системе {. Полагая ак = ск, из (7) получаем Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя Поскольку я здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усиленной форме т. е. для всякой функции / ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе } сходится. Так как система ортонормирована на отрезке [-х, тг], то неравенство (10) в переводе на привычную запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение do справедливое для любой функции /(х) с интегрируемым квадратом. Если f2(x) интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что. Равенство Парсе валя Для некоторых систем {^„(х)} знак неравенства в формуле (10) может быть заменен (для всех функций /(х) 6 Ч) знаком равенства. Получаемое равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты). Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда Фурье функции /(х) сходятся к функции /(х) в среднем, т.е. по норме пространства 6]. Определение. Ортонормированная система { называется полной в Ь2[ау Ь], если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида с достаточно большим числом слагаемых, т. е. если для всякой функции/(х) € Ь2[а, Ь\ и для любого е > 0 найдется натуральное число nq и числа а\, а2у..., такие, что No Из приведенных рассуждений следует Теорема 7. Если ортонормированием система } полна в пространстве ряд Фурье всякой функции / по этой системе сходится к f(x) в среднем, т. е. по норме Можно показать, что тригонометрическая система полна в пространстве, Отсюда следует утверждение. Теорема 8. Если функция /о ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем. 9.5. Замкнутые системы. Полнота и замкнутость систем Определение. Ортонормированная система функций \, называется замкнутой, если в пространстве Li\a, Ь) не существует отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям В пространстве L2\a, Ь\ понятия полноты и замкнутости ортонормированных систем совпадают. Упражнения 1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, ж) функцию 2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию 4. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию 5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = ж + х. 6. Разложите в ряд Фурье в интервале (-jt, тг) функцию п 7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, ж) функцию /(х) = sin2 х. 8. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, jt) функцию f(x) = у 9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тт, -к) функцию /(х) = | sin х|. 10. Разложите в ряд Фурье в интервале (-я-, тг) функцию /(х) = §. 11. Разложите в ряд Фурье в интервале (-тг, тг) функцию f(x) = sin §. 12. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = п -2х, заданную в интервале (0, х), продолжив ее в интервал (-х, 0): а) четным образом; б) нечетным образом. 13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию /(х) = х2, заданную в интервале (0, х). 14. Разложите в ряд Фурье функцию /(х) = 3-х, заданную в интервале (-2,2). 15. Разложите в ряд Фурье функцию f(x) = |х|, заданную в интервале (-1,1). 16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) = 2х, заданную в интервале (0,1).

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-π ; π) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Рядом Фурье функции f(x) на интервале (-l;l) называется тригонометрический ряд вида:
, где
.

Назначение . Онлайн калькулятор предназначен для разложение функции f(x) в Ряд Фурье.

Для функций по модулю (например, |x|), используйте разложение по косинусам .

Правила ввода функций :

Для функций по модулю используйте разложение по косинусам. Например, для |x| необходимо ввести функцию без модуля, т.е. x .

Ряд Фурье кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной на интервале (-l ;l ) функции сходится на всей числовой оси.

Сумма ряда Фурье S(x) :

является периодической функцией с периодом 2l . Функция u(x) называется периодической с периодом T (или T-периодической), если для всех x области R, u(x+T)=u(x).
на интервале (-l ;l ) совпадает с функцией f (x ), за исключением точек разрыва
в точках разрыва (первого рода, т.к. функция ограничена) функции f (x ) и на концах интервала принимает средние значения:

.
Говорят, что функция раскладывается в ряд Фурье на интервале (-l ;l ):

Если f (x ) – четная функция, то в ее разложении участвуют только четные функции, то есть b n =0.
Если f (x ) – нечетная функция, то в ее разложении участвуют только нечетные функции, то есть а n =0

Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по косинусам кратных дуг называется ряд:
, где
.
Рядом Фурье функции f (x ) на интервале (0;l ) по синусам кратных дуг называется ряд:
, где .
Сумма ряда Фурье по косинусам кратных дуг является четной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Сумма ряда Фурье по синусам кратных дуг является нечетной периодической функцией с периодом 2l , совпадающей с f (x ) на интервале (0;l ) в точках непрерывности.
Ряд Фурье для данной функции на данном интервале обладает свойством единственности, то есть если разложение получено каким-либо иным способом, чем использование формул, например, при помощи подбора коэффициентов, то эти коэффициенты совпадают с вычисленными по формулам.

Пример №1 . Разложить функцию f (x )=1:
а) в полный ряд Фурье на интервале (-π ;π);
б) в ряд по синусам кратных дуг на интервале (0;π); построить график полученного ряда Фурье
Решение :
а) Разложение в ряд Фурье на интервале(-π;π) имеет вид:
,
причем все коэффициенты b n =0, т.к. данная функция – четная; таким образом,

Очевидно, равенство будет выполнено, если принять
а 0 =2, а 1 =а 2 =а 3 =…=0
В силу свойства единственности это и есть искомые коэффициенты. Таким образом, искомое разложение: или просто 1=1.
В таком случае, когда ряд тождественно совпадает со своей функцией, график ряда Фурье совпадает с графиком функции на всей числовой прямой.
б) Разложение на интервале (0;π) по синусам кратных дуг имеет вид:
Подобрать коэффициенты так, чтобы равенство тождественно выполнялось, очевидно, невозможно. Воспользуемся формулой для вычисления коэффициентов:

Таким образом, для четных n (n =2k ) имеем b n =0, для нечетных (n =2k -1) -
Окончательно, .
Построим график полученного ряда Фурье, воспользовавшись его свойствами (см. выше).
Прежде всего, строим график данной функции на заданном интервале. Далее, воспользовавшись нечетностью суммы ряда, продолжаем график симметрично началу координат:

Продолжаем периодическим образом на всей числовой оси:

И наконец, в точках разрыва заполняем средние (между правым и левым пределом) значения:

Пример №2 . Разложить функцию на интервале (0;6) по синусам кратных дуг.
Решение : Искомое разложение имеет вид:

Поскольку и левая, и правая части равенства содержат только функции sin от различных аргументов, следует проверить, совпадают ли при каких-либо значениях n (натуральных!) аргументы синусов в левой и правой частях равенства:
или , откуда n =18. Значит, такое слагаемое содержится в правой части и коэффициент при нем должен совпадать с коэффициентом в левой части: b 18 =1;
или , откуда n =4. Значит, b 4 =-5.
Таким образом, при помощи подбора коэффициентов удалось получить искомое разложение:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ»

Кафедра высшей математики

О.В.СТАРОЖИЛОВА

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

протокол № 45 , от 10.03.2017 г.

Старожилова, О.В.

С Специальные главы математики : учебное пособие //Старожилова О.В.. – Самара: ПГУТИ, 2017. –221 с.

Учебное пособие затрагивает специальные разделы математики: математическая логика и теории автоматов, алгебра высказываний, исчисление высказываний, элементы теории алгоритмов, регрессионный анализ, методы оптимизации.

Для студентов и магистров университета, обучающихся по направлению 09.03.02 «Информационные системы и технологии », желающих изучать специальные главы математики самостоятельно.

Каждый раздел заканчивается контрольными вопросами, которые помогут проверить теоретическое освоение курса, содержит большое количество задач для самостоятельного решения и ответы для проверки.

Пособие содержит лабораторный комплекс и ряд инженерных задач с акцентом на программную реализацию методов вычислительной математики.

Старожилова О.В., 2017

Глава 1 Гармонический анализ 6

1.1 Задача о звучащей струне 7

1.2 Ортогональные системы функций 8

1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций 10

1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье 13

1.5 Разложение в ряд Фурье непериодической функции 17

1.6 Ряд Фурье для четных и нечетных функций 18

1.7 Ряды Фурье для функций любого периода 21

1.8 Интеграл Фурье 27

1.9 Интеграл Фурье для четной и нечетной функции 29

1.10 Комплексная форма интеграла Фурье 30

1.11 Преобразование Фурье 32

Глава 2 Математическая логика и ИВ 33

2.1 Этапы развития логики 34

2.2 Логика высказываний 38

2.3Логические связки 40

2.4Логические операции 41

2.5 Алфавит исчисления высказываний 42

2.6 Формулы.Тавтология 42

2.7Законы логики высказываний 44

2.8 Формальные теории. Выводимость. Интерпретация 46

2.9 Аксиоматический метод 47

2.10 Система аксиом исчисления высказываний (ИВ) 52

2.11 Правила вывода 53

2.12 Производные правила вывода 56

2.13 Построение вывода в логике высказываний 62

2.14 Связь между алгеброй и исчислением высказываний 66

Контрольные вопросы 69

Глава 3 Задачи регрессионного анализа 70

3.1 Метод наименьших квадратов 74

3.2 Линейный регрессионный анализ 76

3.3 Оценка модели регрессии 79

3.4 Проблемы применения метода линейной регрессии 83

3.5 Предпосылки статистической модели ЛР 85

3.6 Задачи регрессионного анализа 86

3.7 Многомерная нормальная регрессионная модель 90

3.8 Вариация зависимой переменной 92

Контрольные вопросы 94

Глава 4 Общая постановка и виды задач принятия решений 95

4.1 Математическая постановка задачи оптимизации 97

4.2Локальный и глобальный минимум ЦФ 99

4.3 Методы безусловной оптимизации 102

4.4 Метод покоординатного спуска 102

4.5 Метод Розенброка 105

4.6 Метод конфигураций 105

4.7 Методы случайного поиска 108

4.8 Метод Ньютона 112

Глава 5 Преобразование Фурье 114

5.1 Аппрокисмация функции по Фурье 114

5.2 Преобразование Фурье 117

5.3 Быстрое преобразование Фурье 120

ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС 123

Гармонический и спектральный анализ 123

Тема 1. «Логика высказываний» 131

Варианты индивидуальных заданий темы ЛВ 133

Тема 2. Линейная парная регрессия 140

Лабораторная работа № 1 141

Вычисление коэффициентов уравнения ЛР 141

Лабораторная работа № 2 144

Вычисление выборочного коэффициента корреляции 144

Лабораторная работа № 3 145

Вычисление оценок дисперсий парной ЛР 145

Лабораторная работа №4 147

Функции Excel для коэффициентов парной ЛР 147

Лабораторная работа № 5 149

Построение интервальной оценки для функции парной ЛР 149

Лабораторная работа № 6 151

Проверка значимости уравнения ЛР по критерию Фишера 151

Тема 3 Нелинейная парная регрессия 153

Лабораторная работа № 7 153

Построение нелинейной регрессии с использованием 153

Команды «Добавить линию тренда» 153

Лабораторная работа № 8 158

Выбор наилучшей нелинейной регрессии 158

Тема 4. Линейная множественная регрессия 161

Лабораторная работа № 9 162

Вычисление коэффициентов ЛМР 162

Лабораторная работа № 10 166

Проверка значимости в режиме Регрессия 166

Тема 5. Нелинейная множественная регрессия 175

Лабораторная работа № 11 175

Вычисление для функция Кобба-Дугласа 175

Контрольная работа № 1 179

Парная регрессия 179

Контрольная работа № 2 181

Множественная линейная регрессия 181

Численные методы поиска безусловного экстремума 185

Графический анализ функции 185

Задача одномерного поиска 187

Алгоритм Свенна 190

Метод перебора 193

Метод поразрядного поиска 195

Метод дихотомии. 198

Метод Фибоначчи 201

Метод золотого сечения 205

Метод средней точки 210

Метод Ньютона 214

Литература 218

Глава 1 Гармонический анализ

Определение Гармонический анализ- разделматематики, связанный с разложением колебаний на гармонические колебания.

При изучении периодических (т. е. повторяющихся во времени) явлений рассматриваются периодические функции .

Например, гармоническое колебание описывается периодической функцией времени t :

Ø Определение Периодическая функция - функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов.

Если периодическая функция имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т ; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT , где k = ±1, ± 2,....

Сумма, произведение и частное периодических функций с одним и тем же периодом являются периодическая функция с тем же периодом.

Периодические функции играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике. В курсе математического анализа знакомились с понятием функционального ряда , работали с его важным частным случаем - степенным рядом . Рассмотрим другой очень важный (в том числе и для физических приложений) частный случай функциональных рядов -- тригонометрический ряд.

Ø Определение Функциональный ряд – ряд вида

где - функции, зависящие от одной переменной или от нескольких переменных.

При каждом фиксированном значении функциональный ряд превращается в числовой ряд

который может сходиться, а может и расходится.

Ø Определение Точка сходимости функционального ряда - точка , в которой функциональный ряд сходится.

Ø Определение Множество всех точек сходимости называется областью сходимости ряда .

Можно ли данную функцию представить в виде тригонометрического ряда, т.е. можно ли найти коэффициенты a n и b n такие, что для всех имеет место равенство

Сумма ряда очевидно, -периодическая функция. Значит, разлагать в тригонометрический ряд можно только периодические функции f .

Кроме того ясно, что если две периодические функции совпадают на промежутке, длина которого равна периоду, то они совпадают всюду. Поэтому достаточно проверить на некотором промежутке длины , например, .

1.1 Задача о звучащей струне

К изучению тригонометрических рядов привела поставленная в 18 веке задача о звучащей струне.

Дана функция , можно ли найти тригонометрический ряд, который сходится и имеет своей суммой функцию . На необходимо наложить ограничения, чтобы можно было искать сходящийся к ней тригонометрический ряд.

Аналогичная задача была для степенных рядов, если она разрешима, то таким рядом является ряд Тейлора.

1.2 Ортогональные системы функций

Систематическое изучение ортогональных систем функций было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Одна из основных задач теории ортогональных систем функций - задача о разложении функции f (x ) в ряд вида , где ортогональная система функций.

Ø Определение Функции и называются ортогональными на , если выполняется:

q Пример , - функции ортогональны на , т.к.

q Пример на ортогональна к любой, определенной на функции.

Ø Определение Бесконечная система функций называется ортогональная на , если

q Пример Бесконечная система функций на образует ортогональную на систему функций

q Пример -тригонометрическая система функций образует ортогональную на систему функций.

, , .

Ø Определение Пусть задана произвольная ортогональная на система функций . Ряд

где - произвольные числовые коэффициенты, называется рядом по ортогональной системе функций.

Ø Определение Ряд по тригонометрической системе функций

называется тригонометрическим рядом.

ü Замечание Если - сумма тригонометрического ряда, сходящегося в каждой точке, то она периодическая, так как , - периодические функции с периодом ,то в равенстве ничего не изменится, следовательно периодическая.

ü Замечание Если задана на отрезке , но не , то сдвигом начала координат можно свести к изученному случаю.

ü Замечание Если периодическая функция с периодом ,не , то ее разлагают в тригонометрический ряд

q Теорема Если сходится числовой ряд , то тригонометрический ряд

сходится абсолютно и равномерно на всей оси .

Доказательство

Следовательно,

ряд - мажорирует данный тригонометрический ряд, по признаку Вейерштрасса сходится равномерно.

Абсолютная сходимость очевидна.

1.3 Ряд Фурье по тригонометрической системе функций

Жан Батист Жозеф Фурье 1768 – 1830 – французский математик.

Для вычисления коэффициентов ряда Фурье вычислим интегралы

, ,

q Теорема Если для всех имеет место равенство

и тригонометрический ряд сходится равномерно на всей оси, то коэффициенты этого ряда определяются

, ,

Доказательство

Ряд сходится равномерно на всей числовой оси, его членами являются непрерывные функции, то его сумма тоже непрерывна и возможно почленное интегрирование ряда в пределах

Каждый интеграл равен нулю, т.к. тригонометрическая система функций ортогональна на , а , то

Для доказательства умножим обе части на

Это не нарушит равномерной сходимости ряда.

В силу равномерной сходимости ряда

а это и означает сходимость равномерную ряда.

Интегрируя на , имеем

В силу ортогональности тригонометрической системы функций на

, , а из отличен интеграл при ,

, что и т.д.

Запомним, что

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

Формула для доказывается аналогично.

ü Замечание Теорема остается справедливой на любом отрезке , при этом пределы интегрирования заменяются соответственно на и .

Ø Определение Тригонометрический ряд

коэффициенты которого определяются по формулам

, ,

называется рядом Фурье для функции , а коэффициенты называются коэффициенты Фурье .

Если ряд Фурье функции f(x) сходится во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

ü Замечание Не всякий тригонометрический ряд является рядом Фурье, даже, если он сходится на всей числовой прямой.

Сумма неравномерно сходящегося ряда может быть разрывной и не интегрируемой, поэтому определение коэффициентов Фурье невозможно.

ü Замечание Ряд Фурье является частным случаем функциональных рядов.

1.4 Достаточные условия разложения функции в ряд Фурье

Ø Определение Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек x 1 , x 2 , ..., x n-1 на интервалы (a ,x 1 ), (x 1 ,x 2 ), ..., (x n-1 ,b ) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастает, либо не убывает.

ü Замечание Из определения следует, что если функция кусочно-монотонная и ограничена на [a ,b ], то имеет разрывы только первого рода.

Ø Определение Функция называется кусочно-гладкой , если на каждом конечном интервале она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва 1-го рода.

q Теорема (условие Дирихле достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье) :Если периодическая функция с периодом удовлетворяет одному из условий:

то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках

и сходится к числу в каждой точке ее разрыва.